যদি $\underset{\mathrm{A}}{\to }=\widehat{\mathrm{i}}+2\widehat{\mathrm{j}}+3\widehat{\mathrm{k}}$ এবং $\underset{\mathrm{B}}{\to }=3\widehat{\mathrm{i}}+\widehat{\mathrm{j}}+2\widehat{\mathrm{k}}$ হয় তবে, $(\underset{\mathrm{A}}{\to }+\underset{\mathrm{B}}{\to })$ এবং $\left(\underset{\mathrm{A}}{\to }-\underset{\mathrm{B}}{\to }\right)$ এর মধ্যাকার কোণ কত?

দুটি ভেক্টর \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করতে, আমরা প্রথমে তাদের যোগফল \((\vec{A} + \vec{B})\) এবং বিয়োগফল \((\vec{A} - \vec{B})\) ভেক্টর দুটি বের করব।

দেওয়া আছে:

\(\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}\)

\(\vec{B} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}\)

১. প্রথমে \((\vec{A} + \vec{B})\) ভেক্টরটি নির্ণয় করি:

\((\vec{A} + \vec{B}) = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + (3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})\)

\((\vec{A} + \vec{B}) = (1+3)\hat{i} + (2+1)\hat{j} + (3+2)\hat{k}\)

\((\vec{A} + \vec{B}) = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}\)

ধরি, \(\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}\)

২. এরপর \((\vec{A} - \vec{B})\) ভেক্টরটি নির্ণয় করি:

\((\vec{A} - \vec{B}) = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - (3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})\)

\((\vec{A} - \vec{B}) = (1-3)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-2)\hat{k}\)

\((\vec{A} - \vec{B}) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}\)

ধরি, \(\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}\)

৩. এখন, \(\vec{C}\) এবং \(\vec{D}\) ভেক্টর দুটির ডট গুণফল (dot product) নির্ণয় করি। দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, তাদের ডট গুণফল হয়: \(\vec{C} \cdot \vec{D} = |\vec{C}| |\vec{D}| \cos\theta\)

বা, \(\cos\theta = \frac{\vec{C} \cdot \vec{D}}{|\vec{C}| |\vec{D}|}\)

\(\vec{C} \cdot \vec{D} = (4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})\)

\(\vec{C} \cdot \vec{D} = (4)(-2) + (3)(1) + (5)(1)\)

\(\vec{C} \cdot \vec{D} = -8 + 3 + 5\)

\(\vec{C} \cdot \vec{D} = 0\)

যেহেতু, \(\vec{C} \cdot \vec{D} = 0\), সেহেতু \(\cos\theta = 0\)

\(\theta = \cos^{-1}(0)\)

\(\theta = 90^\circ\)

সুতরাং, \((\vec{A} + \vec{B})\) এবং \((\vec{A} - \vec{B})\) ভেক্টর দুটির মধ্যাকার কোণ হলো \(90^\circ\)।